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\newcommand{\weiyuan}[1]{\ensuremath{\mathrm{d}} #1}
\newcommand{\daoshu}[2]{\frac{\weiyuan{#1}}{\weiyuan{#2}}}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\section{动能定理与能量守恒}
对于质点，有：
$$E_k=\frac{1}{2}m v^2$$
对于一个系统，若其有 $N$ 个质点，第 $i$ 个质点的质量为 $m_i$，速度为 $v_i$，则系统总动能为：
$$E_{k\text{总}}=\sum_{i=1}^N \frac{1}{2}m_iv_i^2$$
这也可以推广到连续质量的情况，把求和换成积分即可；

质点在受到力的作用后，会发生速度的变化，有：
$$W_{\text{总}}=E_{k\text{末}}-E_{k\text{初}}$$
该式为能量守恒定律的一部分——另一部分会在热学相关给出；

我们来简单证明一下：\\
根据牛顿第二定律，有：
$$\vec{F}_{\text{总}}=m\vec{a}=m \daoshu{\vec{v}}{t}$$
位移为 $\weiyuan{\vec{x}}=\vec{v}\weiyuan{t}$，所以有：
$$\weiyuan{W_{\text{总}}}=\vec{F_{\text{总}}}\cdot \weiyuan{\vec{x}}=m\daoshu{\vec{v}}{t}\cdot \vec{v} \weiyuan{t}=m\vec{v}\cdot \weiyuan{\vec{v}}=\frac{1}{2}m\weiyuan{\left(\vec{v}\right)^2}=\frac{1}{2}m \weiyuan{v^2}$$
$$W_{\text{总}}=\int_{t=0}^T \weiyuan{W_{\text{总}}}=\int_{t=0}^T \frac{1}{2}m \weiyuan{v^2}=\frac{1}{2}mv_{\text{末}}^2-\frac{1}{2}mv_{\text{初}}^2=E_{k\text{末}}-E_{k\text{初}}$$
证毕.

质点系的总能量与质心速度.
\section{保守力与势能}
\subsection{保守力的定义}
力 $\vec{F}$ 为保守力，当且仅当：
\begin{itemize}
    \item 力的大小只与质点所在的位置有关，即力可以写成 $\vec{F}=\vec{F}\left(x,y\right)$ 或 $\vec{F}=\vec{F}\left(x,y,z\right)$ ；
    \item 力场 $\vec{F}$ 是无旋场，即对任意闭合曲线 $\mathrm{l}$ ，有：
    $$\oint_{\mathrm{l}} \vec{F}\cdot\weiyuan{\vec{x}} =0$$
\end{itemize}
由此不难得出一些性质：
\begin{itemize}
    \item 保守力的合力依然是保守力.
    \item 保守力做的总功只与起点和终点有关，和中间路径无关.
    \item 当物理运动前后处于同一位置时，保守力做功为 $0$.
\end{itemize}
\subsection{势能}
凡保守力，皆可构造对应的势能场。

势能场为空间坐标的标量函数，即 $E_p=E_p(x,y)$ 或 $E_p=E_p(x,y,z)$；势能零点可以任意指定——不放设坐标 $(x_0,y_0)$ 为势能零点，保守力的势能场可由如下方法计算得到：
$$E_p(x,y)=\int_{(x,y)}^{(x_0,y_0)} \vec{F}\cdot d\vec{s}$$
\subsection{几种常见的保守力与其对应的势能场}
\subsubsection{重力}
重力在空间的任何一个地方都是相等的，都为 $m\vec{g}$；\\
重力势能只与高度有关，$E_p=mgh$.
\subsubsection{弹力}
根据胡克定律，弹力满足：
$$\vec{F}=-k\Delta \vec{x}$$
弹性势能：
$$E_p=\int_{x=0}^{x} Fx\weiyuan{x}=\frac{1}{2}kx^2$$
\subsection{引力}
$$\vec{F}=-\frac{GMm}{r^2} \hat{r}$$
引力的特殊性令其零点的选择一般固定，以无穷远处为势能零点；
$$E_p=\int_{r=0}^\infty -\frac{GMm}{r^2} \weiyuan{r}=-\frac{GMm}{r}$$
\subsection{惯性力}
平动加速度的惯性力和重力基本相同；
惯性离心力有：
$$F=\omega^2r$$
势能有：
$$E_p=\frac{1}{2}\omega^2 r^2$$
\section{动能定理与机械能}
$$E_{\text{机械}}=E_k+E_p$$
将外力中属于机械能的部分抽出来，和动能放在一起，被称为机械能；当系统不受到耗散力的影响时，机械能守恒.
\section{例题}
\subsection{一维线性势能下的运动}
程力 P.207 练习 5-18.
\subsection{旋转下水面的形状}
程力 P.208 练习 5-19.
\subsection{再探潮汐}
地球加速度为 $\frac{GM_s}{r_{es}^2}$，可由此构造出惯性力势能场；\\
地球在距地心为 $h$ 处，对小质量为 $m$ 的万有引力势能为 $-\frac{GM_em}{h}$；\\
太阳的万有引力势能为 $-\frac{GM_sm}{r}$；\\
三个力的合力的势能，在潮汐平面不同的地方相等；考虑与地球-太阳连线夹角为 $\theta$ 处的水面，假设高为 $h$，并取 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 时 $h=r_e$；
$$-\frac{GM_sm}{\sqrt{r_{es}^2+h^2-2r_{es}h\cos\theta}}-\frac{GM_em}{h}+\frac{GM_sm}{r_{es}^2}h\cos\theta=\text{常数}$$
上一步用到了余弦定理；利用 $h<<r_{es},|h-r_e|<<r_e$，有近似：
$$-\frac{GM_sm}{r_{es}}\left(1+\frac{h\cos\theta}{r_{es}}-\frac{(2-3\cos\theta)h^2}{4r_{es}^2}\right)-\frac{GM_em}{r_e}\left(1+\frac{r_e-h}{r_e}\right)+\frac{GM_sm}{r_{es}^2}h\cos\theta=\text{常数}$$
这里应用了高阶近似；一阶近似结果会被削去，所以要保留到二阶；具体过程如下：\\
对于一般的，有近似：$(1+x)^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2}x^2+\ldots+\frac{\prod_{i=0}^{k-1} (n-i)}{k!} x^k$，故：
$$\left(1-2\frac{r_{es}\cos\theta}{h}+\frac{r_{es}^2}{h^2}\right)^{-\frac{1}{2}}\approx 1+\frac{r_{es}\cos\theta}{h}-\frac{r_{es}^2}{2h^2}+\frac{3}{8}\left(-2\frac{r_{es}\cos\theta}{h}+\frac{r_{es}^2}{h^2}\right)^2\approx 1+\frac{h\cos\theta}{r_{es}}-\frac{(2-3\cos\theta)h^2}{4r_{es}^2}$$
将常数合并到右侧，整理，并去掉常系数，得：
$$\frac{M_s}{4r_{es}^3}\left({2-3\cos\theta}\right)h^2-\frac{M_e}{r_e^2}(r_e-h)=\text{常数}$$
记 $\Delta h=h-r_e$，代入，并利用 $\Delta h << r_e$ 去掉高阶项，有：
$$\frac{M_s}{4r_{es}^3}\left(2-3\cos\theta\right)r_e^2+\frac{M_e}{r_e^2}\Delta h=\text{常数}$$
此时由于 $r_e<<r_{es}$ ，因此 $2r_e\Delta h$ 也为高阶项，可以去掉；\\
代入 $\theta=\frac{\pi}2$ 时 $h=r_e,\Delta h=0$，得：
$$\frac{M_s}{4r_{es}^3}\left(2-3\cos\theta\right)r_e^2+\frac{M_e}{r_e^2}\Delta h=\frac{M_sr_e^2}{2r_{es}^3}$$
所以：
$$\Delta h=\frac{3\cos\theta M_s r_e^4}{4M_e r_{es}^3}$$
\subsection{堆叠的圆棒/球体下落}
程力 P.243 例题5-5 第二问。
\end{document}
